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  • 球冠面上的正交函數研究獲進展

    作者:佚名 來源:國家天文臺南京天文光學技術研究所 時間:2020-01-13 12:14 閱讀:170 [投稿]
    中國科學院國家天文臺南京天文光學技術研究所鄭奕等人研究了球冠上的數據表達,獲得了3組具有解析表達的正交、完備函數組。

    近期,中國科學院國家天文臺南京天文光學技術研究所鄭奕等人研究了球冠上的數據表達,獲得了3組具有解析表達的正交、完備函數組。  

    球冠面上的數據表達有著廣泛的應用:在高數值孔徑光學系統如光刻、顯微系統中用來表達并分析像差,照明系統中用來設計大張角的透鏡曲面,計算機渲染中用來計算反射光的半球分布,在人眼角膜塑形、區域地磁場建模中也起重要作用,因此一直是研究的熱點。傳統的平面函數隨著球冠面變得彎曲,誤差不可忽略,因此只在小曲度的情況下適用;而著名的球諧函數在球冠面上是冗余的,難以進行穩定的擬合,即使正則化、分數階球諧函數等改進方法陸續被提出,計算的復雜性、高階次不穩定的固有困難仍然難以徹底克服。

    這次鄭奕課題組從平面單位圓與球冠在拓撲形態上的同構出發,構造了兩者之間的一一映射,使用Zernike多項式原理,系統推導出球冠面上的正交完備函數系的獲得方法。在此基礎上,獲得了3組具有解析表達的函數。第一個是“半球諧函數”(Hemispherical Harmonics),它在半球面上的正交、完備性獲得證明,而且其表達式上與球諧函數的相似性加深了人們對球諧函數的理解,它還揭示了平面Zernike多項式與球諧函數之間關聯。第二個是“Zernike球面函數”(Zernike Spherical Functions),第三個是縱向球面函數(Longitudinal Spherical Functions),它們在任意球冠上都具有正交不變性,甚至可以拓展到超半球冠,適應性強。研究還討論了球冠面上數據擬合的問題,通過對擬合協方差矩陣條件數的分析,所獲球冠函數相對球諧函數、Zernike多項式具有顯著優勢,計算穩定、而且對噪聲不敏感。該項研究成果已在國際期刊《光學快報》(Optics Express Vol. 27, No. 26 37180–37195, 2019)上發表。研究獲得國家自然科學基金(11190011, 11973008)、江蘇省自然科學基金(BK20141516)的支持。


    圖1(a) 半球諧函數HSH的形態;圖1(b) 半球諧函數在球諧函數中的分布,黃色格點為半球諧函數,灰色格點為伴隨半球諧函數,兩者組合為球諧函數。


      

    圖2(a) 球諧函數在半球上的擬合協方差矩陣;圖2(b) 為Zernike函數在半球上的擬合協方差矩陣;圖2(c) 半球諧函數在半球上的擬合協方差矩陣;圖2(d) 協方差矩陣條件數比較,半球諧函數優勢明顯。


    圖3(a) 用4階、20階和140階球冠函數擬合半球上的臺階分布,獲得很高的擬合精度

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